Question

19．已知关于x的方程3x²-（a-3）x-a=0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．

解答 （1）证明：△=（a-3）²-4×3×（-a）=（a+3）²．
∵a＞0，
∴（a+3）²＞0．即△＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：3x²-（a-3）x-a=0，
（3x-a）（x+1）=0，
解得x₁=-1，x₂=$\frac{a}{3}$．
∵方程有一个根大于2，
∴$\frac{a}{3}$＞2．
∴a＞6．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．