Question

3．如图1，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．
（1）求证：AF=BD；
（2）若△ABC的边长为2，求△DEF面积的最小值；
（3）如图2，若△ABC和△FDE都改成等腰三角形，且顶角∠BAC=∠DFE，D是BC的中点，求证：DF∥AC．

Answer 1

分析 （1）证明△BDF≌△AFE即可．
（2）设AF=BD=CE=x，可以得S_△DEF=S_△ABC-3S_△BDF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\sqrt{3}$即可解决问题．
（3）由△BFD∽△CDE推出△FBD∽△FDE即可证明．

解答 （1）证明：图1中，∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠FDE=∠FED=∠DFE=60°，DF=EF=DE，
∵∠BFE=∠A+∠AEF=∠BFD+∠DFE，
∴∠BFD=∠AEF
在△BDF和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠A}\\{∠BFD=∠AEF}\\{DF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△AFE，
∴AF=BD．
（2）由（1）可知：AF=BD，同理AF=CE，设AF=BD=CE=x，
∵S_△DEF=S_△ABC-3S_△BDF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-3×$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△DEF面积的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（3）如图2中，∵AB=AC，FD=FE，
∴∠B=∠C，∠FDE=∠FED，
∵∠A=∠DFE
∴∠B=∠FDE，
∵∠FDC=∠B+∠BFD=∠FDE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BFD
∴△BFD∽△CDE，
∴$\frac{BF}{DC}=\frac{DF}{DE}$，
∵BD=DC，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{BD}{DE}$，∵∠B=∠FDE，
∴△FBD∽△FDE，
∴∠BFD=∠DFE=∠A，
∴DF∥AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题，第3问中寻找相似三角形是解决问题的关键．