Question

13．AB是⊙O的直径，AB=2．点C在⊙O上，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据OA=OC，求得∠OCA的度数，进而求得∠DCQ的度数，然后在直角△APQ中利用三角形内角和定理求得∠Q，证明∠DCQ=∠Q，即可证得．
（2）先根据直角三角形的性质得出OC，AC及BC的长，再由△CDQ≌△COB，可得出CQ=BC，再根据AP=$\frac{1}{2}$AQ得出AP的长，由BP=AB-AP可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
又∵CD⊥OC，即∠OCD=90°，
∴∠DCQ=180°-∠ACO-∠OCD=30°．
∵PQ⊥AB，即∠APB=90°，
∴∠Q=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
∴△CDQ是等腰三角形．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=2，
∴⊙O的半径为1，OC=1，AC=$\frac{1}{2}$AB=1，BC=$\sqrt{3}$．
∵△CDQ≌△COB，
∴CQ=BC=$\sqrt{3}$．
∵AQ=AC+CQ=1+$\sqrt{3}$，AP=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴BP=AB-AP=2-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．