Question

4．已知：点A（1，3），点B（-3，0），点C（1，0）
（1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连结PQ，设BP=DQ=m，问：是否存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得出∠ACB=90°，OC=1，AC=3，BC=4，由勾股定理求出AB，由△BDA与△BAC相似得出∠BAD=90°，由射影定理求出CD，得出OD即可；
（2）由∠PBQ=∠ABD，分两种情况：①当$\frac{BP}{BQ}=\frac{AB}{DB}$时，解方程即可；②当$\frac{BP}{BQ}=\frac{DB}{AB}$时，解方程即可．

解答 解：（1）∵点A（1，3），点B（-3，0），点C（1，0），
∴∠ACB=90°，OC=1，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
若△BDA与△BAC相似（不包含全等），
则∠BAD=90°，
由射影定理得：AC²=BC•CD，
∴CD=$\frac{A{C}^{2}}{BC}=\frac{9}{4}$，
∴OD=OC+CD=1+$\frac{9}{4}$=$\frac{13}{4}$
∴点D的坐标为（$\frac{13}{4}$，0）；
（2）存在，m=$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$；理由如下：
∵∠PBQ=∠ABD，
∴分两种情况：
①当$\frac{BP}{BQ}=\frac{AB}{DB}$时，△BPQ∽△BAD，
即$\frac{m}{\frac{25}{4}-m}=\frac{5}{\frac{25}{4}}$，
解得：m=$\frac{25}{9}$；
②当$\frac{BP}{BQ}=\frac{DB}{AB}$时，△BPQ∽△ABD，
即$\frac{m}{\frac{25}{4}-m}=\frac{\frac{25}{4}}{5}$，
解得：m=$\frac{125}{36}$．
综上所述：存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似，m=$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$．

点评 本题考查了坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理等知识；本题有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．