Question

12．如图，⊙C经过原点且与两坐标分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，6），点M是圆上弧BO的中点，且∠BMO=120°．                  
（1）求弧BO的度数；
（2）求⊙C的半径；
（3）求弓形AO的面积．

Answer 1

分析 （1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°即可得出答案；
（2）易得OA=6，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径；
（3）连接CO，过点C作CD⊥AO于点D，易求△ACO的面积和扇形ACO的面积，由弓形AO的面积=S_扇形ACO-S_△ACO计算即可．

解答 解：（1）连接AB，AM，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∵∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∴弧BO的度数为120°；

（2）∵弧BO的度数为120°，
∴∠BAO=60°，
∵AO=6，
∴cos∠BAO=$\frac{AO}{AB}$，
∴AB=$\frac{6}{cos60°}$=12，
∴⊙C的半径为6；
（3）连接CO，过点C作CD⊥AO于点D，
∵弧BO的度数为120°，
∴∠BAO=60°，
∵AC=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵AC=6，
∴CD=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$CD•AO=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×6=9$\sqrt{3}$，
∵S_扇形ACO=$\frac{60×π×36}{360}$=6π，
∴弓形AO的面积=S_扇形ACO-S_△ACO=6π-9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有垂径定理与圆周角定理，等边三角形的判定和性质、三角形和扇形面积公式运用，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．