Question

【题目】如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE相交于点F

（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；

（2）如图2，当点E运动到CE：ED＝2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；

（3）当点E运动到CE：ED＝n：1时（n是正整数），猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写过程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

连接DF，根据相似的知识点，可知△FEC∽△FBA，则可得出△FEC与△FBA的面积比．

（1）根据相似的性质可得：，再根据S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF，则可得到 △ABF与四边形ADEF的面积之比；

（2）根据相似的性质可得：，再根据2S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF，则可得到 △ABF与四边形ADEF的面积之比；

（3）根据相似的性质可得：，再根据nS△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF，则可得到 △ABF与四边形ADEF的面积之比；

（1）如图1，连接DF．

因为点E为CD的中点，所以，S△DEF=S△CEF；

根据题意可证△FEC∽△FBA，所以=；

在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，且AF=AF，

所以△DAF≌△BAF，所以S△ABF=S△ADF．

因为S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF， 所以．

（2）如图2，连接DF．

由（1）可知，，则，且2S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF．

所以．

（3）由（1）（2）的规律可知：

当CE：ED＝n：1时（n是正整数），，则，

且nS△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF．

．