【题目】抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),
∴当y=0时,(x﹣3)(x+1)=0,
解得x=3或﹣1,
∴点B的坐标为(3,0).
∵y=(x﹣3)(x+1)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点D的坐标为(1,﹣4);
(2)
解:①如右图.
∵抛物线y=(x﹣3)(x+1)=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,﹣3).
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0).
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,﹣3),
∴CH=DH=1,
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°,
∴CD= ,CB=3 ,△BCD为直角三角形.
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO,
∴△BCD∽△QOC,
∴ = = ,
∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).
∴直线CQ的解析式为y=﹣ x﹣3,
直线BD的解析式为y=2x﹣6.
由方程组 ,解得 .
∴点P的坐标为( ,﹣ );
②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时.
若点N在射线CD上,如备用图1,延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴ ,
∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF= a,
∴MF=MN+NF=3a,
∴MG=FG= a,
∴CG=FG﹣FC= a,
∴M( a,﹣3+ a).
代入抛物线y=(x﹣3)(x+1),解得a= ,
∴M( ,﹣ );
若点N在射线DC上,如备用图2,MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴ = = ,
∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF= a,
∴MF=MN﹣NF=a,
∴MG=FG= a,
∴CG=FG+FC= a,
∴M( a,﹣3+ a).
代入抛物线y=(x﹣3)(x+1),解得a=5 ,
∴M(5,12);
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时.
∵∠CMN=∠BDE<45°,
∴∠MCN>45°,
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,
∴点M不存在.
综上可知,点M坐标为( ,﹣ )或(5,12).
【解析】(1)已知解析式,依据题意求出点的坐标即可。
(2)依据一元二次函数的性质解答。
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点),还要掌握二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】一个袋子中装有3个红球和2个黄球,这些球的形状、大小.质地完全相同,在看不到球的条件下,随机从袋子里同时摸出2个球,其中2个球的颜色相同的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某电脑公司经销甲种型号电脑,今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是(填写序号).
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【题目】某校七年级(1)班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查,并将调查结果分为书法和绘画类(记为A)、音乐类(记为B)、球类(记为C)、其他类(记为D).根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生都进行了归类,并制作了如下两幅统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(1)七年级(1)班学生总人数为人,扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为度,请补全条形统计图;
(2)学校将举行书法和绘画比赛,每班需派两名学生参加,A类4名学生中有两名学生擅长书法,另两名擅长绘画.班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛,请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法,另一名擅长绘画的概率.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,BC=OB,CE是⊙O的切线,切点为D,过点A作AE⊥CE,垂足为E,则CD:DE的值是( )
A.
B.1
C.2
D.3
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【题目】设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)
(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;
(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;
(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.
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【题目】已知一次函数y=2x+4
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;
(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴交点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积;
(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.
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