Question

已知一次函数y₁=2x，二次函数y₂=x²+1．
（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y₁、y₂，并填在表格中：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x
y2=x2+1

（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立？若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x	-6	-4	-2	0	2	4	6
y2=x2+1	10	5	2	1	2	5	10

（Ⅱ）在实数范围内，对于x的同一个值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵=（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（Ⅲ）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即当x=1时，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）点为y₁和y₂的交点．
因为要满足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃图象必过（1，2）点．
又因为y₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函数ax²+（b-2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同样有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因为函数过（-5，2）和（1，2）两点，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
将b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立时 a=，
将b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
满足条件a=
所以y₃的解析式为y₃=（x²+4a+1）=+x+．
分析：（Ⅰ）根据表中所给的x的值，代入函数式求值即可；
（Ⅱ）把y₂化成完全平方的形式与y₁进行比较即可得出结论；
（Ⅲ）由图可知，在实数范围内，对于x的同一个值，三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）²-4ac≤0得出a的值，于是可推理出抛物线的解析式．
点评：此题结合图表考查了同学的对函数图象上点的坐标特征的理解，以及通过数形结合考查了同学们的探索发现能力．
解答此题需要熟知函数图象的交点个数与判别式的关系，通过将函数问题转化为方程问题来解答．