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【题目】如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GEBC,垂足为点E,GFCD,垂足为点F.

(1)证明与推断:

①求证:四边形CEGF是正方形;

②推断:的值为   

(2)探究与证明:

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AGBE之间的数量关系,并说明理由:

(3)拓展与运用:

正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CGAD于点H.若AG=6,GH=2,则BC=   

【答案】(1)①四边形CEGF是正方形;②;(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;(3)3

【解析】(1)①由结合可得四边形CEGF是矩形,再由即可得证;

②由正方形性质知,据此可得,利用平行线分线段成比例定理可得;

(2)连接CG,只需证即可得;

(3),设,知,由,由可得a的值.

(1)①∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,BCA=45°,

GEBC、GFCD,

∴∠CEG=CFG=ECF=90°,

∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=ECG=45°,

EG=EC,

∴四边形CEGF是正方形;

②由①知四边形CEGF是正方形,

∴∠CEG=B=90°,ECG=45°,

,GEAB,

故答案为:

(2)连接CG,

由旋转性质知∠BCE=ACG=α,

RtCEGRtCBA中,

=cos45°==cos45°=

=

∴△ACG∽△BCE,

∴线段AGBE之间的数量关系为AG=BE;

(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,

∴∠BEC=135°,

∵△ACG∽△BCE,

∴∠AGC=BEC=135°,

∴∠AGH=CAH=45°,

∵∠CHA=AHG,

∴△AHG∽△CHA,

BC=CD=AD=a,则AC=a,

则由

AH=a,

DH=AD﹣AH=a,CH==a,

∴由

解得:a=3,即BC=3

故答案为:3

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