Question

20．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，
（1）试说明：∠EAC=∠B；
（2）若AD=10，BD=24，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由于△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，CD=CE，CB=CA，∠B=∠CAB=45°，∠ACB=∠ECD=90°，于是∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，根据等式性质可得∠ACE=∠BCD，利用SAS可证△ACE≌△BCD，利用全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据△ACE≌△BCD，于是∠EAC=∠B=45°，AE=BD=24，易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可求DE=26．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，
∴EC=DC，AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B．
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=24，
∵∠EAC=∠B=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=90°，
∴在Rt△ADE中，DE²=EA²+AD²，
∴DE²=10²+24²，
∴DE=26．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是先证明△ACE≌△BCD，从而求出AE，以及∠EAD=90°．