Question

9．如图，AB是⊙O的直径，D是$\widehat{BC}$的中点，DE⊥AB于E，交CB于点F．过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．
（1）求证：GD是⊙O的切线；
（2）求证：GD²=GC•AG；
（3）若CD=6，AD=8，求cos∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由垂径定理得出OD⊥BC，OD平分BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出DM⊥OD，即可得出GD是⊙O的切线；
（2）由切割线定理即可得出结论；
（3）由垂径定理得出BD=CD=6，BN=$\frac{1}{2}$BC，由勾股定理求出AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10，证明△CDH∽△ABH，得出对应边成比例$\frac{CH}{AH}=\frac{DH}{BH}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，求出BH，得出DH、AH、CH，求出BC的长，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，OD平分BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AG⊥BC，
∵DM∥BC，
∴DM⊥OD，
∴GD是⊙O的切线；
（2）证明：∵GD是⊙O的切线，AG是⊙O的割线，
∴GD²=GC•AG；
（3）解：∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴BD=CD=6，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠DCH=∠BAH，∠CHD=∠AHB，
∴△CDH∽△ABH，
∴$\frac{CH}{AH}=\frac{DH}{BH}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵$\frac{DH}{BH}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BD}{BH}=\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{5}{4}$BD=$\frac{5}{4}$×6=$\frac{15}{2}$，
∴DH=$\frac{3}{5}$BH=$\frac{9}{2}$，
∴AH=AD-DH=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴CH=$\frac{3}{5}$AH=$\frac{21}{10}$，
∴BC=BH+CH=$\frac{15}{2}$+$\frac{21}{10}$=$\frac{48}{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\frac{48}{5}}{10}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、切割线定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要证明三角形相似才能得出结果．