Question

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE²+DF²=AF²+DE²．
其中正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE²+DF²=AF²+DE²成立．

解答 解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；

∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，
∴④正确；

在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；

∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确．
综上，可得
正确的是：②③④．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．