Question

20．如图，已知点C，D是半圆$\widehat{AB}$上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：
①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=$\frac{1}{2}$AC，④四边形AODC是菱形．
正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①首先根据点C，D是半圆$\widehat{AB}$上的三等分点，求出∠AOC的度数；然后根据圆周角定理，求出∠CBA的度数即可．
②根据三角形的内角和定理，求出∠BEO=90°，即可判断出OD⊥BC．
③首先判断出E是BC的中点，然后判断出OE是△ABC的中位线，即可判断出OE=$\frac{1}{2}$AC．
④菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形，据此判断即可．

解答 解：如图，连接CD、AD、CO，
，
∵点C，D是半圆$\widehat{AB}$上的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=180°÷3=60°，
∴∠CBA=∠AOC÷2=60°÷2=30°，
即①正确；
∵∠BEO=180°-∠BOD-∠CBA
=180°-60°-30°
=90°
∴OD⊥BC，
即②正确．
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC，
即③正确．
∵AC⊥BC，OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∵∠DCB=∠BOD÷2=60°÷2=30°，∠CBA=30°
∴∠DCB=∠CBA，
∴CD∥AB，
∴四边形AODC是平行四边形，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO=AC，
又∵四边形AODC是平行四边形，
∴AO=OD=DC=CA，
∴四边形AODC是菱形，
即④正确．
综上，可得正确的结论有：①②③④，一共4个．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了圆心角、弧、弦三者的关系，三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（3）此题还考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①四条边都相等的四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．