Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=∠ACB，DE与AB相交于点F．
（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．

Answer 1

（1）猜想BE=FD，
证明：如图，延长CA、BE相交于G，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠EBA=∠ACB，
∴∠EBA=22.5°，
∴∠GBC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠G=∠GBC，
∴CG=BC，
∵CE⊥BE，
∴∠ACE=∠ACB，BE=BG，
∴∠ACE=∠EBA．
在△ABG和△ACF中
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG=CF
∴BE=FC，
即BE=FD．

（2）解：成立，
理由是：过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H，
则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∴MB=MD，
∵∠EBA=∠ACB，
∴∠EBA=∠MDB=22.5°，
∴∠HBD=∠H=67.5°，
∴DB=DH，
∵DE⊥BE，
∴∠HDE=∠HDB，BE=BH，
∴∠HBM=∠FDM，
在△HMA和△FMD中

∴△HMA≌△FMD（ASA）
∴BH=DF，
∴BE=FD．
分析：（1）延长CA、BE相交于G，求出CG=BC，BE=EG，证△ABG≌△ACF，推出BG=CF即可；
（2）过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H，求出DB=DH，推出∠HBM=∠FDM，根据ASA证△HMA≌△FMD，推出BH=DF即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．