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    如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．
    （1）求⊙O的半径；
    （2）求证：AE=BF；
    （3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．
    （4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？
    【答案】分析：（1）连接DG，根据直径所对的圆周角是直角得出DG⊥BC，在△DGC中根据勾股定理求出DC的长即可；
    （2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理求出EM=FM，根据梯形的中位线推出AM=BM即可；    
    （3）有三个点：①P与E重合时，∠CED=90°，根据同角的余角相等得出∠AED=∠ECB，又∠DAB=∠ABC，由两角对应相等的两三角形相似证明出△AED∽△BCE，即可求出AP；②P与点F重合时，与①类似能求出AP；③P在线段EF上，由△APD∽△BPC，根据相似三角形的性质得出比例式求出AP即可． 
    （4）当P3与E（P1）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，只有两解，根据相似三角形的性质得出比例式求出AE=3．
    解答：解：（1）连接DG．
    ∵CD为直径，
    ∴DG⊥BC，
    在△DGC中，∵BC-AD=1，
    ∴GC=1，
    又∵AB=7，
    ∴DC==5，
    ∴⊙O的半径为；

    （2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理得EM=FM，
    又∵AD∥OM∥BC，OD=DC，
    ∴AM=BM，
    ∴AM-EM=BM-FM，
    即AE=BF；


    （3）有三个点．
    设AD=x，则BC=x+1，根据勾股定理，
    AD2+AE2=DE2，即 x2+1=DE2，
    BE2+BC2=CE2，即62+（x+1）2=CE2，
    又CE2+DE2=CD2=50，
    即  x2+1+[62+（x+1）2]=50，
    解得 x=2，
    即AD=2，BC=3．
    第一种情况：∠APD+∠BPC=90．
    只有∠DPC=90度时，∠APD+∠BPC=90，△PAD∽△CBP．
    根据圆的特性，CD为直径，所以这样的点都在圆弧上，即点E，F
    设AF=y．则根据AD2+AF2+BF2+BC2=CD2，
    ∴4+y2+（7-y）2+9=50，
    解得y1=1，y2=6
    即 AP=1，或者AP=6；
    第二种情况：∠APD=∠BPC时，三角形PAD相似于PBC．
    假设存在这样的点P，使得：∠APD=∠BPC时，△APD∽△BPC，则
    AP：BP=AD：BC=2：3，
    又∵AP+BP=AB=7，
    所以AP=7×=．
    综合以上，可以看出，这样的点有3个，AP的长度分别为 1，6，；

    （4）当P3与E（P1）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，此时△APD与△BPC都是等腰直角三角形，
    由△APD∽△BPC，得AP=AD，BP=BC，
    又AP+BP=7，BC-AD=1，
    ∴AP=3，即AE=3．
    故当AE=3时，满足（3）中条件的点P有且只有两个，即点E、点F．
    点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论是解题的关键．
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    （1）求证：AD=BE；
    （2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

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