Question

15．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），则E点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），设DE的长度为d，构建二次函数即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=1或4，
∴A（ 1，0），B（ 4，0）；
令x=0，则y=2，
∴C点坐标为（0，2），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
∴E点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
整理得，d=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∵a=-1＜0，
∴当m=2时，d_最大=2
∴D点的坐标为（ 2，-1）．

点评 此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．