Question

关于x的方程x²-mx-m-1=0①与2x²-（m+6）x-m²+4=0②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值．

Answer 1

解：设方程①的两个实数根为α，β，那么α+β=m，αβ=-m-1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2（-m-1）=m²+m+2，
把方程②变形为[2x+（m-2）][x-（m+2）]=0，
解得：x₁=-，x₂=m+2，
若x₁为整数根，根据题意，得m²+m+2=-，
解这个方程，得m=-1，
此时x₁=-=不是整数根，不合题意，舍去，
若x₂为整数根，根据题意，得m²+m+2=m+2，
解得：m=0或m=-，
当m=0时，方程②的x₂=0+2=2是整数，且△₁=0²-4×（-1）＞0，方程①有两个实数根，符合题意．
当m=-时，方程②的x₂=-+2=不是整数，不合题意，舍去，
∴m=0．
分析：设方程①的两个实数根为α，β，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而表示出两根的平方和，第二个方程表示出两解，分别等于表示出的平方和列出关于m的方程，经检验即可得到满足题意m的值．
点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．