Question

两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm²）．

（1）当点C落在边EF上时，x=　 cm；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

Answer 1

 解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得

BC==6．

在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．

四边形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，

故答案为：15；

（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x²

②当6≤x＜12时，如图3所示．，

BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．

重叠部分的面积为y=S_△BDG﹣S_△BEH=DG•BG﹣BE•EH，

即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）

化简，得y=﹣x²+2x﹣6；

③当12＜x≤15时，如图4所示．，

AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重叠部分的面积为y=S_△ABC﹣S_△BEG=AC•BC﹣BE•EG，

即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），

化简，得y=18﹣（x²﹣12x+36）=﹣x²+2x+12；

综上所述：y=；

（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．，

点M在NG上时MN最短，

NG是△DEF的中位线，

NG=EF=．

MB=CB=3，∠B=30°，

MG=MB=，

MN_最小=3﹣=．