Question

如图，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；

（3）如图，过点E（1，1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥轴于点G，若线段MG*AG＝12，求点M，N的坐标．

Answer 1

（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线 得

　

整理得

　　　　　　解得

∴抛物线的解析式为

（2）

令　 解得

∴ B点坐标为（4，0）

又∵D点坐标为（0，）　　∴AB∥CD　 ∴四边形ABCD是梯形．

∴S_梯形ABCD ＝

设直线与x轴的交点为H，

与CD的交点为T，

则H（，0）， T（，）

∵直线将四边形ABCD面积二等分

∴S_梯形AHTD ＝S_梯形ABCD＝４

∴　

∴

（3）

∵MG⊥轴于点G，线段MG*AG＝12

　　 ∴设M（m，），

∵点M在抛物线上　 ∴

解得（舍去）

∴M点坐标为（3，）

根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，

∴N点坐标为（1，）