Question

如图，抛物线经过A（-3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．
①当t为何值时，点N落在抛物线上；
②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+bx+经过A（-3，0），C（5，0）两点，
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+x+；

（2）∵y=-x²+x+，
=-（x²-2x+1）++，
=-（x-1）²+8，
∴点B的坐标为（1，8），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴BD=8，CD=5-1=4，
∵PM⊥BD，
∴PM∥CD，
∴△BPM∽△BDC，
∴=，
即=，
解得PM=t，
所以，OE=1+t，
∵四边形PMNQ为正方形，
∴NE=8-t+t=8-t，
①点N的坐标为（1+t，8-t），
若点N在抛物线上，则-（1+t-1）²+8=8-t，
整理得，t（t-4）=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；

②存在．
理由如下：∵PM=t，四边形PMNQ为正方形，
∴QD=NE=8-t，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
则，
解得，
所以直线BC的解析式为y=-2x+10，
则-2x+10=8-t，
解得x=t+1，
所以，QR=t+1-1=t，
又EC=CD-DE=4-t，
根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，
即t=4-t，
解得t=，
此时点P在BD上，所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形．
分析：（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，然后根据相似三角形对应边成比例用t表示出PM，再求出NE的长度，①表示出点N的坐标，再根据点N在抛物线上，把点N的坐标代入抛物线，解方程即可得解；②根据PM的长度表示出QD，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标，从而求出QR的长度，再表示出EC的长度，然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），相似三角形的判定与性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．