Question

如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点A，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于D．AD的延长线交⊙O₂于M，连接AB、AC分别交⊙O₁于E、F，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O₁的半径r₁=3，⊙O₂的半径r₂=8，BC是⊙O₂的直径，求AB和AC的长（AB＞AC）．

Answer 1

（1）证明：如图，过A作⊙O₁、⊙O₂的公切线AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，

（2）证明：连接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴
即AB•AC=AD•AM．

（3）解：连接O₁D，∴O₁D⊥BC，连接O₂O₁并延长，必过A点，
在Rt△O₁O₂D中，可求得O₂D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O₁E∥O₂B，∴
∴
∵BD²=AB•BE，∴12²=AB•
∴AB=，AC=．
分析：（1）作两圆的外公切线AT，根据弦切角定理得：∠TAB=∠AFE=∠ACB，则EF∥BC；
（2）根据弦切角定理得：∠ADB=∠ACM，推得△ADB∽△ACM，得出比例式，再转化成乘积式AB•AC=AD•AM；
（3）连接O₁D，由BC切⊙O₁于D，根据勾股定理得O₂D=4，再由O₁E∥O₂B，得出比例式，推出，根据切割线定理，求AB和AC的长．
点评：本题考查的是相似三角形的判定和性质的应用、切割线定理、切线的性质定理和勾股定理．