Question

11．在平面直角坐标系中
（1）取点M（1，0），则点M到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；取直线y=$\frac{1}{2}$x+2与直线l平行，则两直线距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
（2）已知点P为抛物线y=x²-4x的x轴上方一点，且点P到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为2$\sqrt{5}$，求点P的坐标．
（3）若直线y=kx+m与抛物线y=x²-4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB=90°，求点P（2，0）到直线y=kx+m的距离的最大时直线y=kx+m的解析式．

Answer 1

分析 （1）先确定与直线y=$\frac{1}{2}$x-1与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，-1），利用勾股定理计算出两交点的距离为$\sqrt{5}$，则利用面积法可求出原点到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，于是可得到直线y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移2个单位，所得直线y=$\frac{1}{2}$x到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用此规律可得点M（1，0）到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；直线y=$\frac{1}{2}$x+2与直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（2）利用（1）中规律可得直线y=$\frac{1}{2}$x+4到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为2$\sqrt{5}$，由于点P为直线y=$\frac{1}{2}$x+4与抛物线y=x²-4x的交点，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$可得点P的坐标；
（2）设A（a，a²-4a），B（b，b²-4b），易得△AOC∽△ODB，利用相似比可得到$\frac{{a}^{2}-4a}{b}$=$\frac{-a}{{b}^{2}-4b}$，整理得ab-4（a+b）+17=0，由于a、b为方程kx+m=x²-4x的两个根，即方程为x²-（k+4）x-m=0，利用根系数的关系得到a+b=k+4，ab=-m，所以m=1-4k，则直线y=kx+m变形为y-1=k（x-4），于是可判断直线y-1=k（x-4）过定点Q（4，1），只有当PQ⊥直线y=kx+m时，点P到直线y=kx+m的距离的最大，求出直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，则k=-2，然后计算出对应m的值即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x-1与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，-1），
∴两交点的距离为$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴原点到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可看作直线y=$\frac{1}{2}$x到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即直线y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移2个单位，所得直线y=$\frac{1}{2}$x到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移1个单位，所得直线到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即点M（1，0）到直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴的交点坐标为（-4，0），
∴直线y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移6个单位得到直线y=$\frac{1}{2}$x+4，
∴直线y=$\frac{1}{2}$x+2与直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（2）∵直线y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移10个单位，所得直线y=$\frac{1}{2}$x+4到直线y=$\frac{1}{2}$x-1的距离为2$\sqrt{5}$，
∴点P为直线y=$\frac{1}{2}$x+4与抛物线y=x²-4x的交点，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9+\sqrt{145}}{4}}\\{y=\frac{41+\sqrt{145}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-\sqrt{145}}{4}}\\{y=\frac{41-\sqrt{145}}{8}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{9+\sqrt{145}}{4}$，$\frac{41+\sqrt{145}}{8}$）或（$\frac{9-\sqrt{145}}{4}$，$\frac{41-\sqrt{145}}{8}$）；

（2）设A（a，a²-4a），B（b，b²-4b），
∵∠AOB=90°，
∴△AOC∽△ODB，
∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OC}{BD}$，即$\frac{{a}^{2}-4a}{b}$=$\frac{-a}{{b}^{2}-4b}$，
整理得ab-4（a+b）+17=0，
∵点A和点B为直线y=kx+m与抛物线y=x²-4x的交点，
∴a、b为方程kx+m=x²-4x的两个根，即方程为x²-（k+4）x-m=0，
∴a+b=k+4，ab=-m，
∴-m-4（k+4）+17=0，
∴m=1-4k，
∴y=kx+1-4k，即y-1=k（x-4），
∴直线y-1=k（x-4）过定点Q（4，1），
当PQ⊥直线y=kx+m时，点P到直线y=kx+m的距离的最大，
直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴k=-2，
∴m=1-4×（-2）=9，
∴点P（2，0）到直线y=kx+m的距离的最大时直线y=kx+m的解析式为y=-2x+9．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握一次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题；会应用勾股定理和相似比计算线段的长．