【题目】已知:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)连结BE,若,AD=,求BE的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形,再加上∠ADC=90°,证平行四边形ADCE是矩形;
(2)根据,得到BD与AB的关系,通过解直角三角形,求AD长,则可求EC的值,在Rt△BDE中,利用勾股定理得BE.
(1)证明:∵AE // BC,CE // AD
∴ 四边形ADCE是平行四边形
∵AD ⊥BC,AB=AC
∴∠ADC=90°,
∴ 平行四边形ADCE是矩形
(2)解:连接DE,如图:
在Rt△ABD中,∠ADB =90°
∵
∴
∴设BD=x,AB=2x
∴AD=
∵AD=
∴x=2
∴BD=2
∵AB=AC,AD⊥BC
∴BC=2BD=4
∵矩形ADCE中,EC=AD=, BC=4
∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得BE===
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在平面内任取一点D,连结AD(AD<AB),将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连结DE,CE,BD.
(1)请根据题意补全图1;
(2)猜测BD和CE的数量关系并证明;
(3)作射线BD,CE交于点P,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°,AB=2,AD=1时,补全图形,直接写出PB的长.
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【题目】小明、小丽两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩(成绩均为整数,且个位数为0)分别如下图所示:
(1)根据上图中提供的数据填写下表:
平均成绩(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差(S2) | |
小明 | 80 | 80 | ||
小丽 | 85 | 260 |
(2)如果将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,则优秀率高的同学是________;
(3)根据图表信息,请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议.
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【题目】瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目.某公司生产了一种纪念花灯,每件纪念花灯制造成本为18元.设销售单价x(元),每日销售量y(件)每日的利润w(元).在试销过程中,每日销售量y(件)、每日的利润w(元)与销售单价x(元)之间存在一定的关系,其几组对应量如下表所示:
(元) | 19 | 20 | 21 | 30 |
(件) | 62 | 60 | 58 | 40 |
(1)根据表中数据的规律,分别写出毎日销售量y(件),每日的利润w(元)关于销售单价x(元)之间的函数表达式.(利润=(销售单价﹣成本单价)×销售件数).
(2)当销售单价为多少元时,公司每日能够获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据物价局规定,这种纪念品的销售单价不得高于32元,如果公司要获得每日不低于350元的利润,那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元?
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【题目】已知关于的方程
(1)无论取任何实数,方程总有实数根吗?试做出判断并证明你的结论.
(2)抛物线的图象与轴两个交点的横坐标均为整数,且也为正整数.若,是此抛物线上的两点,且,请结合函数图象确定实数的取值范围.
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【题目】已知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点(不与点C,点D重合),连接AM,将线段AM绕点M顺时针旋转90°,得到线段ME,连接EC.
(1)如图1,若点M在线段BD上.
① 依据题意补全图1;
② 求∠MCE的度数.
(2)如图2,若点M在线段CD上,请你补全图形后,直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系 .
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【题目】如图,AB是圆O的弦,OA⊥OD,AB,OD相交于点C,且CD=BD.
(1)判断BD与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC.则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<2<x2,且x1+x2>4,则y1>y2.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】知识迁移
当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当时取等号).
记函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为
直接应用
已知函数与函数, 则当____时,取得最小值为___.
变形应用
已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值.
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共元;二是燃油费,每千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?
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