Question

7．如图1所示，一次函数y=-x-3分别交x，y轴于A，C两点，抛物线y=x²+bx+c与经过点A，C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为抛物线上A，C两点间的一个动点，过点P作直线x=a，交直线AC于点Q，当点P运动到什么位置时，线段PQ的长度最大？求此最大长度，及此时P点坐标；
（3）如图2在（2）条件下，直线x=-1与x轴交于N点与直线AC交于点M，当N，M，Q，D四点是平行四边形时，直接写出D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C坐标，把A、C两点坐标代入y=x²+bx+c解方程组即可．
（2）设P（a，a²+2a-3），则 Q（a，-a-3），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）如图2中，分两种情形①当MN为平行四边形的边时，DQ=MN=2，可得D₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），D₂（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．②当MN为对角线时，可得D₃（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x-3分别交x，y轴于A，C两点，
∴A（-3，0）C（0，-3），把A、C两点坐标代入y=x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{-3b+c=9}\\{b+c=-1}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²+2x-3．

（2）设P（a，a²+2a-3），则 Q（a，-a-3），
∴PQ=-a-3-（a²+2a-3）=-a²-3a=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当a=-$\frac{3}{2}$时，PQ是最大值=$\frac{9}{4}$，
此时  P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

（3）如图2中，

∵N（-1，0），M（-1，-2），Q（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴MN=2，
①当MN为平行四边形的边时，DQ=MN=2，
∴D₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），D₂（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
②当MN为对角线时，可得D₃（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．