Question

10．在平面直角坐标系xOy中，有一点C，过点C分别作CA⊥x轴，CB⊥y轴，点A、B是垂足．
定义：若长方形OACB的周长与面积的数值相等，则点C是平面直角坐标系中的平衡点．
（1）请判断下列是平面直角坐标系中的平衡点的是②；（填序号）
①E（1，2）②F（-4，4）
（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y=-x+b（b为常数）的图象上；
①求m、b的值；
②一次函数y=-x+b（b为常数）与y轴交于点D，问：在这函数图象上，是否存在点M，使S_△OMD=3S_△OND，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点P（0，-2），且平行于x轴的直线上有平衡点Q吗？若有，请求出平衡点Q的坐标；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（4+4）即可求得答案；
（2）①（4+m）×2=4m，可求出m，把N点坐标代入一次函数解析式可求得b；②由一次函数解析式可求得D点坐标，则可求得△OND的面积，由条件则可求得点M到y轴的距离，则可求得M点的坐标；
（3）可设Q点坐标为（x，-2），由平衡点的定义可得到关于x的方程，解方程进行判断即可．

解答 解：
（1）∵1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（|-4|+4），
∴点E不是平衡点，点N是平衡点，
故答案为：②；
（2）①∵N是第一象限中的平衡点，
∴4m=2（4+m），解得m=4，
∴N（4，4），
∵N点在y=-x+b的图象上，
∴4=-4+b，解得b=8；
②由①可知一次函数解析式为y=-x+8，
∴D（0，8），
∴OD=8，且N（4，4），
∴S_△OND=$\frac{1}{2}$×4×8=16，
∴S_△OMD=3S_△OND=3×16=48，
设M坐标为（t，-t+8），则M到y轴的距离为|t|，
∴$\frac{1}{2}$×8×|t|=48，解得t=12或t=-12，
当t=12时，-t+8=-4，当t=-12时，-t+8=20，
∴存在满足条件的点M，其坐标为（12，-4）或（-12，20）；
（3）∵PQ∥x轴，且P（0，-2），
∴可设点Q坐标为（x，-2），
∵点Q为平衡点，
∴2|x|=2（|x|+2），该方程无解，
∴不存在满足条件的Q点．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、新定义、分类讨论及方程思想等知识点．解决本题的关键是理解题目中所给的平衡点的定义．本题考查知识点不多，难度不大．