Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0有实数根，下列结论：①abc＞0；②b²-4ac＞0；③m＞-2，其中，正确的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向可得a＞0，由抛物线的对称轴在y轴右侧得b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为-2得到m≥-2，于是可对③进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标为-2，
∴方程ax²+bx+c=-2有两个相等的实数解，
而关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0有实数根，
∴m≥-2，所以③错误．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．