Question

如图所示，在△ABC中，PG为BC边的垂直平分线．且∠PBC=

1

2

∠A，BP的延长线交AC于点D，CP的延长线交AB于点E．求证：BE=CD．

Answer 1

分析：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点．证明Rt△BEF≌Rt△CDM．易证Rt△PBF≌Rt△PCM，得到BF=CM；由于∠A=∠BPE，在四边形ADPE中，根据内角和定理可得∠BEF=∠CDM，所以Rt△BEF≌Rt△CDM．得证．

解答：证明：证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点，
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB=∠PMC  ∠BPF=∠CPM  PB=PC

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=

1

2

∠BPE．
∵∠PBC=

1

2

∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF=∠CDM  ∠BFE=∠CMD  BF=CM

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意构造全等三角形是关键，注意掌握数形结合思想的应用．