Question

如图，AB是半圆O的直径，过半圆O上的一点D分别作AB的垂线与半圆O的切线，交直线AB于点E与点C，过点B平行于CD的直线交DE于点F，连接OD，BD．
（1）求证：BF=DF；
（2）若EF=3，，求线段BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵CD是切线，∴OD⊥CD，即∠BDC+∠ODB=90°．
∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠OBD=90°．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∴∠BDC=∠BDE．
又∵BF∥CD，∴∠BDC=∠DBF．
∴∠BDE=∠DBF．
∴BF=DF．

（2）解：∵∠BOD+∠ODE=90°，∠CDE+∠ODE=90°，
∴∠BOD=∠CDE．
又∵BF∥CD，∴∠BFE=∠CDE．
∴∠BOD=∠BFE．
在Rt△BEF中，∵，
∴．
∵BE²+EF²=BF²，∴，
解得BF=5．∴BE=4，DF=5．
∵BF∥DC，∴=，得，
∴．
分析：（1）若要证BF=DF，则需证∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠DBF，再证∠BDC=∠BDE，由∠BDC+∠ODB=90°和∠BDE+∠OBD=90°即可证得．
（2）此题可先由（1）得∠BFE=∠BOD，在Rt△BEF中求得各边的长，则DF也可求出，再由BF∥DC得=，解得BC的长．
点评：本题考查了切线的性质、解直角三角形等综合性问题，难度稍大．