Question

如图，⊙O的半径为4cm，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，且BC=4cm，当点P在⊙O上运动时，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形，若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：假设存在点P，使得为△PBC等腰三角形，并能找到4个符合条件的点P，并求出距离．

解答：解：假设存在点P，使得为△PBC等腰三角形，
当BP=BC时，可得OP=BP=OB，
则△OBP₁为等边三角形．
∴∠P₁BG=30°，过P₁作P₁G⊥BC于G，
∵P1G=

BP1

2

=

4

2

=2cm．
∴P₁到BC距离为2cm．
当CP=BC时，∵BC=OB=OP₂=CP₂，∠OBC=90°，
∴四边形OBCP₂为正方形，
∴∠BCP₂=90°，P₂C=4cm．
∴P₂到BC距离为4cm．
当CP=BP时，作BC的垂直平分线交⊙O于P₃．
∵P₃K⊥BC，
∴P3M=

OP32-OM2

=

42-22

=

12

=2

3

（cm）
∴P3K=2

3

+4（cm），
∴P₃到线段BC距离为2

3

+4（cm）．
∵P₃K⊥OP₂，
∴P3M=P4M=2

3

（cm）．
∴P4K=4-2

3

（cm）．
∴P₄到线段BC距离为4-2

3

（cm）．
∴存在4个点P满足条件，P到BC的距离分别为2cm，4cm，（2

3

+4）cm，（4-2

3

）cm．

点评：本题考查了切线的性质，先假设，并能找到符合情况的4个点，并能求出距离，从而解决问题．