Question

12．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，且AE=2BE，过点A作直线CE的垂线AF交CB的延长线于点G，连接BF，则BF的长为$\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作FM⊥GC于M，则FM∥AB，由正方形的性质得出∠ABC=90°，AB=CB=6，由ASA证明△ABG≌△CBE，得出BG=BE，AG=CE，由AE=2BE，得出BG=BE=2，由勾股定理求出AGCE=AG=2$\sqrt{10}$，证明△AFE∽△CBE，得出对应边成比例求出AF=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，求出FG=AG-AF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，由平行线得出$\frac{FM}{AB}=\frac{FG}{AG}=\frac{GM}{BG}$，求出FM=$\frac{12}{5}$，GM=$\frac{4}{5}$，得出BM=BG-GM=$\frac{6}{5}$，再由勾股定理求出BF即可．

解答 解：作FM⊥GC于M，如图所示：
则FM∥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB=6，
∴∠ABG=90°，
∴∠G+∠BAG=90°，
∵CF⊥AG，
∴∠AFE=∠CFG=90°，
∴∠G+∠BCE=90°，
∴∠BAG=∠BCE，
在△ABG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠ABC=90°}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠BAG=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴BG=BE，AG=CE，
∵AE=2BE，
∴BE=2，AE=4，
∴BG=BE=2，
∴CE=AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵∠AFE=∠ABC=90°，∠BAG=∠BCE，
∴△AFE∽△CBE，
∴$\frac{AF}{CB}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AF}{6}=\frac{4}{2\sqrt{10}}$，
解得：AF=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，
∴FG=AG-AF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∵FM∥AB，
∴$\frac{FM}{AB}=\frac{FG}{AG}=\frac{GM}{BG}$，
即$\frac{FM}{6}=\frac{\frac{4}{5}\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{GM}{2}$，
解得：FM=$\frac{12}{5}$，GM=$\frac{4}{5}$，
∴BM=BG-GM=$\frac{6}{5}$，
∴BF=$\sqrt{F{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$；
故答案为：$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．