Question

已知正方形ABCD，点E、F分别是AD、AB边上的点，且BE⊥CF；
（1）求证：CF=BE；
（2）如图（b），MN和EF是夹在正方形两组对边间的线段，且MN⊥EF，那么MN与EF相等吗？请简要说明你的判断思路，若需添加辅助线说明，请在（b）中画出．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，可得BA与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠BFC=∠AEB，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得∠1+∠4=90°，∠1与∠3的关系，根据AAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案．

解答：（1）证明：如图一：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=BA，∠CBA=∠A=90°．
∵BE⊥CF，
∴∠BGF=90°，
∠GBF+∠GFB=90°．
∵∠FBG+∠BEA=90°，
∴∠BFC=∠AEB．
在△BFC和△AEB中，

∠CFB=∠BEA ∠CBF=∠BAE CB=BA

，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴CF=BE；
（2）如图二作MG⊥AB与G点，作EH⊥BC与H点，
∴∠NGM=∠NGA=90°，∠EHF=∠EHB=90°，
∴∠1+∠4=90°．
∴ADNG是矩形，AEHB是矩形，
∴AD=NG，AD∥NG，AB∥EH，AB=EH，
∴∠2=∠3．
∵MN⊥EF，
∴∠EIM=90°，
∴∠4+∠2=90°，
∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠3．
正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∴EH=NG．
在△EHF和△NGM中，

∠1=∠3 ∠FHE=∠MGN HE=NG

，
∴△EHF≌△△NGM （AAS），
∴EF=MN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，补角的性质，全等三角形的判定与性质，作图构造全等三角形是解题关键．