如图(1).在边长为$10\sqrt{2}$cm的正方形ABCD中.E.F是对角线AC上的两个动点.它们分别从点A.C同时出发.沿对角线以1cm/s的相同速度运动.过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H,过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G.连接HG.EB.设HE.EF.FG.GH围成的图形面积为S1.AE.EB.BA围成的图形面积为S2(这里规� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

1．如图（1），在边长为$10\sqrt{2}$cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG、EB，设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S₁，AE、EB、BA围成的图形面积为S₂（这里规定：线段的面积为0），E到达C、F到达A停止．若E的运动时间为x（s），解答下列问题：
（1）当0＜x＜10时，直接写出以E、F、G、H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S₁=S₂；
（2）若y是S₁与S₂的和，求y与x之间的函数关系式；（图（2）为备用图）
（3）是否存在E点，使y=125？若存在，求出AE的长，不存在请说明理由．

分析（1）根据正方形的性质可知△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，即可求出结论．
根据正方形的边长可求出AC的长，过B作BO⊥AC于O，OB即为△ABE的高，设AE=x，y用含x的关系式表示出S₁、S₂即可求出x的值．
（2）因为当x=10时，EF重合此时S₁=0，y=S₂故应分0≤x＜10与10≤x≤20两种情况讨论．
（3）同（2）分两种情况用含x的代数式表示出y的值，然后根据二次函数的最值即可求出y的最大值，从而判断是否存在E点，使y=125．

解答解：（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，
故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，
所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．
∵正方形边长为10$\sqrt{2}$，
∴AC=20．
∵AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=10．
∴S₂=5x（2分）
∵HE=x，EF=20-2x，
∴S₁=x（20-2x）．
当S₁=S₂时，x（20-2x）=5x．
解得x₁=0（舍去），x₂=7.5．
∴当x=7.5时，S₁=S₂．
（2）①当0≤x＜10时，y=x（20-2x）+5x=-2x²+25x．
②当10≤x≤20时，AE=x，CE=HE=20-x，EF=20-2（20-x）=2x-20．
∴S₁=（20-x）（2x-20）．
∴y=（20-x）（2x-20）+5x=-2x²+65x-400．
（3）①y=-2x²+25x（0≤x＜10），
当x=-$\frac{25}{2×（-2）}$=$\frac{25}{4}$时，y=-2（$\frac{25}{4}$）²+25×$\frac{25}{4}$=$\frac{625}{8}$=78.125，
∴y的最大值为$\frac{625}{8}$，
②y=-2x²+65x-400（10≤x≤20），
当x=-$\frac{65}{2×（-2）}$=$\frac{65}{4}$时，y═-2（$\frac{65}{4}$）²+65×$\frac{65}{4}$-400=128.125，y的最大值为128.125．
∴存在E点，使y=125．
当y=125时，
-2x²+65x-400=125，解得：x₁=15，x₂=17.5，
所以AE的长为15cm或17.5cm时，y=125．

点评本题综合考查了正方形的性质及二次函数图象上点的特征，把求面积的最值转化为求二次函数的最值问题，锻炼了同学们对所学知识的综合运用能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>