Question

某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：

	A种材料（m2）	B种材料（m2）	所获利润（元）
每个甲种吉祥物	0.3	0.5	10
每个乙种吉祥物	0.6	0.2	20

该企业现有A种材料900m²，B种材料850m²，用这两种材料生产甲、乙两种吉祥物共2000个．设生产甲种吉祥物x个，生产这两种吉祥物所获总利润为y元．
（1）求出y（元）与x（个）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该企业如何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润，最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）根据题意得y=10x+20（2000-x）
∴y=-10x+40000
由题意
解得1000≤x≤1500
∴自变量x的取值范围是1000≤x≤1500且x是整数．

（2）由（1）y=-10x+40000
∵k=-10＜0
∴y随x的增大而减小
又∵1000≤x≤1500且x是整数
∴当x=1000时，y有最大值，最大值是-10×1000+40000=30000（元）
∴生产甲种吉祥物1000个，乙种吉祥物1000个，所获利润最大，最大利润为30000元．
分析：（1）本题的等量关系是：总利润=生产甲吉祥物的利润+生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的A材料+生产乙吉祥物用的A材料≤900；生产甲吉祥物用的B材料+生产乙吉祥物用的B材料≤850．来列出不等式组求出自变量的取值范围．
（2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案．
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．