Question

【题目】已知直线l1∥l2 ， 直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠APB=∠PAC+∠PBD，

如图1，过点P作PE∥l1，

∴∠APE=∠PAC，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，

∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）解：不成立，

如图2：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由：过点P作PE∥l1，

∴∠APE=∠PAC，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，

∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD；

如图3：∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由：过点P作PE∥l1，

∴∠APE=∠PAC，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，

∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

【解析】（1）过点P作PE∥l1 ， 根据平行线的性质即可得到，∠APE=∠PAC，∠BPE=∠PBD，根据∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，可得∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）根据（1）的方法，过点P作PE∥l1 ， 根据平行线的性质，可得∠APE=∠PAC，∠PBD=∠BPE，图2中根据∠APB=∠APE﹣∠BPE，可得∠PAC=∠APB+∠PBD；图3中，根据∠APB=∠BPE﹣∠APE，可得∠PBD=∠PAC+∠APB．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的性质(两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补)．