Question

【题目】如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，直线CE与⊙O相切于点C，与AD相交于点E．

（1）求证：CE⊥AD；

（2）如图2，设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P．

①求证：∠PCF=∠CBF；

②若PF=6，tan∠PEF=，求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②10

【解析】

（1）连结OC，说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而求解；

（2）①作直径CG，连结FG，由圆周角定理求得∠G+∠FCG=90°，然后结合（1）求得∠OCE=∠PCF+∠FCG=90°，∠G=∠PCF，然后再结合同弧所对的圆周角相等，从而求解；

②连结AC，利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PAE，△PCF∽△PAC，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据三角函数及勾股定理求PC的值．

解：（1）连结OC．

∵直线CE与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CE，即∠OCE=90°．

∵OA＝OB，BC=CD，

∴C是BD的中点，O是AB的中点，

∴OC是△BDA的中位线，

∴OC∥AD，

∴∠CED=∠OCE=90°，

即CE⊥AD

（2）①作直径CG，连结FG，

∵CG是直径，点F在圆上，

∴∠CFG=90°，

∴∠G+∠FCG=90°．

由（1）可知∠OCE=∠PCF+∠FCG=90°，

∴∠G=∠PCF．

又∵∠G=∠CBF，

∴∠PCF=∠CBF

②连结AC．

∵AB是直径，点F在圆上，

∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA．

又∵∠EPF=∠APE，

∴△PEF∽△PAE，

∴，即PE2=PF×PA．

在直角△PEF中，tan∠PEF=，

又∵PF=6，

∴EF＝8，

由勾股定理，可求得PE＝10．

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF，∠CPF=∠APC

∴△PCF∽△PAC，

∴，即PC2=PF×PA，

∴PC2=PE2，

则PC=PE=10