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【题目】ABC中,AB=20cm,BC=16cm,点D为线段AB的中点,动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s(a>0且a≠2)的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为x秒.

(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够使BPDCQP全等?

(2)若B=60°,求出发几秒后,BDP为直角三角形?

(3)若C=70°,当CPQ的度数为多少时,CPQ为等腰三角形?(请直接写出答案,不必写出过程).

【答案】(1)cm/s;(2)当P出发2.5秒或10秒后,BPD为直角三角形;(3)CPQ为等腰三角形时,CPQ的度数为35°,40°,55°,70°.

【解析】

试题分析:(1)根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点P运动的时间,再求得点Q的运动速度;

(2)分两种情况;①当BPD=90°时,由B=60°,得到BDP=30°,求得2BP=BD=10,求出x=2.5;②当BDP=90°时,根据三角形的内角和得到BPD=30°,求出x=10;即可得到当P出发2.5秒或10秒后,BPD为直角三角形;

(3)分点P在边BC上或点P在边BC的延长线上,CPQ为等腰三角形,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

解:(1)AB=AC

∴∠B=C

AB=20cm,D是AB的中点,

BD=10cm

点Q的速度与点P的速度不同,

BP≠CQ

要使BPDCQP全等,

则BP=CP=8cm CQ=BD=10cm,

x=秒,

a==cm/s;

(2)①当BPD=90°时,

∵∠B=60°∴∠BDP=30°

2BP=BD=10

BP=5

即2x=5,

x=2.5

②当BDP=90°时,

∵∠B=60°

∴∠BPD=30°

BP=2BD=20

即2x=20,

x=10

当P出发2.5秒或10秒后,BPD为直角三角形;

(3)点P在边BC上,CPQ为等腰三角形,

①当PQ=CQ,∵∠C=70°

∴∠CPQ=C=70°

②当PQ=PC,∵∠C=70°

∴∠PQC=C=70°

∴∠CPQ=180°﹣2×70°=40°,

③当PC=CQ,∵∠C=70°

∴∠CPQ=CQP==55°,

点P在边BC的延长线上,CPQ为等腰三角形,

∵∠ACB=70°∴∠ACP=110°

PC=CQ

∴∠CPQ=CQP==35°,

综上所述:当CPQ为等腰三角形时,CPQ的度数为35°,40°,55°,70°.

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