Question

（2013•松江区模拟）如图1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=

3

5

，tanC=

12

5

．点D为边BC上的动点（点D不与B、C重合），以D为圆心，BD为半径的⊙D交边AB于点E．
（1）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）如图2，点F为边AC上的动点，且满足BD=

7

13

CF，联结DF．
①当△ABC和△FDC相似时，求⊙D的半径；
②当⊙D与以点F为圆心，FC为半径⊙F外切时，求⊙D的半径．

Answer 1

分析：（1）根据AE=AB-BE进而得出y与x的函数关系即可；
（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用△ABC和△FDC相似求出⊙D的半径即可；
②过点F作FM⊥BC，首先利用勾股定理计算出FD的长，再利用外切的性质得出DF，进而求出⊙D的半径．

解答：解：（1）过点D作DG⊥BE，垂足为E．
∵DG过圆心，
∴BE=2BG，
在Rt△DGB中，cosB=

BG

BD

=

3

5

，
∵BD=x，
∴BG=

3

5

x，
∴BE=

6

5

x，
∵AB=15，
∴y=15-

6

5

x，定义域为：0＜x≤

25

2

；

（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为H
在Rt△ADH中，cosB=

BH

AB

=

3

5

∵AB=15，
∴BH=9，
∴AH=12，
在Rt△AHC中，tanC=

AH

HC

=

12

5

∴HC=5，
∴BC=14，
设BD=x，则CF=

13

7

x，DC=14-x，
∵∠C=∠C，
∴当△ABC和△FDC相似时，有
（ⅰ）

CF

CA

=

CD

CB

，
即

13 7 x

13

=

14-x

14

，
解得：x=

14

3

，
∴BD=

14

3

，
（ⅱ）

CF

CB

=

CD

CA

，
即

13 7 x

14

=

14-x

13

，
解得：x=

1372

267

，
∴BD=

1372

267

，
∴当△ABC和△FDC相似时，⊙D的半径为

14

3

或

1372

267

，
②过点F作FM⊥BC，垂足为M
在Rt△FMC中，tanC=

FM

MC

=

12

5

，
∴sinC=

FM

FC

=

12

13

，
∵CF=

13

7

x，
∴FM=

12

7

x，MC=

5

7

x，
∴DM=14-x-

5

7

x=14-

12

7

x，
∴DF=

DM2+FM2

=

(14- 12 7 x)2+( 12 7 x)2

，
∵⊙D与⊙F外切，
∴DF=x+

13

7

x=

20

7

x，
∴

(14- 12 7 x)2+( 12 7 x)2

=

20

7

x，
解得：x₁=

7

2

，x₂=-

49

2

（舍去）
即BD=

7

2

，
∴当⊙D与⊙F外切时，⊙D的半径为

7

2

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用已知进行分类讨论得出是解题关键．