Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（ ）

A.6
B.12
C.18
D.24

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵ME⊥AD，MF⊥DC，

∴∠DEM=90°，∠DFM=90°，

∴四边形EDFM是矩形；

∴DF=EM，DE=FM，FM∥AD，ME∥CD，

∴△AEM∽△ADC，

∴ = ，

设DF=EM=x，DE=FM=y，

∴ = ，

y=﹣ x+6，

四边形EMFD面积=xy=x（﹣ x+6）=﹣ （x﹣4）2+12，

故x=4时，四边形EMFD面积的最大值为12．

所以答案是：B．

【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．