Question

【题目】如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．

（1）求证：AC∥BD；

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．

（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学计算器）

Answer 1

【答案】（1）证明参见解析；(2) 61.9°；(3) 小红的连衣裙会拖落到地面．理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等角对等边和对顶角相等得出∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC）和∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∠AOC=∠BOD进而利用平行线的判定得出即可；或利用三角形相似和平行线判定可得出结论；（2）首先过点O作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度数；（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．

试题解析：（1）方法一：∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC），同理可证：∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∴∠OAC=∠OBD，∴AC∥BD；方法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，∴OB=OD=85cm，∴，又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴∠OAC=∠OBD；∴AC∥BD；（2）在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；过点O作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；∴cos∠OEF=

0.471，用科学计算器求得∠OEF=61.9°；（3）方法一：小红的连衣裙会拖落到地面；在Rt△OEM中，OM== =30cm，过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴,AH=cm，因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．所以小红的连衣裙会拖落到地面．方法二：小红的连衣裙会拖落到地面；同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中sin∠ABD=，AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm，因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．所以小红的连衣裙会拖落到地面．