Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B（0，2）．

（1）直接写求∠BAO的度数；

（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？

（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．

Answer 1

【答案】（1）∠BAO＝60°；（2）S1＝S2；理由见解析；（3）S1＝S2不发生变化；证明见解析.

【解析】

（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；

（2）根据旋转的性质和直角三角形的性质可证得OA'＝AA'＝AO＝A'B，然后根据等边△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即可得到S1＝S2；

（3）根据旋转的性质可得BO＝OB'，AA'＝OA'，再求出∠AON＝∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．

解：（1）∵A（2，0），B（0，），

∴OA＝2，OB＝，

在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝60°；

（2）S1＝S2；

理由：∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝30°，

∴OA'＝OA＝AB，△AOA'是等边三角形，

∴OA'＝AA'＝AO＝A'B，

∵∠B'A'O＝60°，∠A'OA＝60°，

∴B'A'∥AO，

根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即△AB′O中AO边上高和△BA′O中BA′边上的高相等，

∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1＝S2；

（3）S1＝S2不发生变化；

理由：如图，过点A'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，

∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，

∴BO＝OB'，AO＝OA'，

∵∠AON＋∠BON＝90°，∠A'OM＋∠BON＝90°，

∴∠AON＝∠A'OM，

在△AON和△A'OM中，，

∴△AON≌△A'OM（AAS），

∴AN＝A'M，

∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1＝S2．