Question

【题目】如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形CEFG，连接DG交EF于H，连接AF交DG于M；

（1）求证：AM=FM；

（2）若∠AMD=a．求证：=cosα．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由旋转性质可知：AD=FG，DC=CG，可得∠CGD=45°，可求∠FGH=∠FHG=45°，则HF=FG=AD，所以可证△ADM≌△MHF，结论可得．

（2）作FN⊥DG垂足为N，且MF=FG，可得HN=GN，且DM=MH，可证2MN=DG，由第一问可得2MF=AF，由cosα=cos∠FMG=，代入可证结论成立

（1）由旋转性质可知：

CD=CG且∠DCG=90°，

∴∠DGC=45°从而∠DGF=45°，

∵∠EFG=90°，

∴HF=FG=AD

又由旋转可知，AD∥EF，

∴∠DAM=∠HFM，

又∵∠DMA=∠HMF，

∴△ADM≌△FHM

∴AM=FM

（2）作FN⊥DG垂足为N

∵△ADM≌△MFH

∴DM=MH，AM=MF=AF

∵FH=FG，FN⊥HG

∴HN=NG

∵DG=DM+HM+HN+NG=2（MH+HN）

∴MN=DG

∵cos∠FMG=

∴cos∠AMD=

∴=cosα