Question

【题目】对于二次函数y=x2-2mx-3 ， 有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3 ．
其中正确的说法是 ． （把你认为正确说法的序号都填上）

Answer 1

【答案】①④
【解析】①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0 ， ∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x= ≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则≥1 ， 即m≥1 ， 故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3 ， 当y=0时，得x2+2x-3=0 ， 即（x-1）（x+3）=0 ， 解得，x1=1 ， x2=-3 ， 将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x= =1006 ， 则 =1006 ， m=1006 ， 原函数可化为y=x2-2012x-3 ， 当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3 ， 故本选项正确．所以答案是①④．
【考点精析】利用二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．