Question

如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=

1

2

∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．

解答：解：连结OA、OB，如图1，

∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=

1

2

∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB=60°，
∴点C在⊙D上，且∠ADB=120°，
如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为

3

4

AB²=

3

4

，
∴△ABC的最大面积为

3

4

．
故选D．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．