Question

如图1，点A（，b+1），B（，b-1）都在反比例函数（x＞0）的图象上．
（1）求a、b之间的关系式；
（2）把线段AB平移，使点A落到y轴正半轴上的C点处，点B落到x轴正半轴上的D点处，求点O到CD的距离；
（3）在（2）的条件下，如图2，当∠BAD=30°时，请求出k的值．

Answer 1

解：（1）∵点A（，b+1），B（，b-1）都在反比例函数（x＞0）的图象上．
∴
∴；

（2）设C（0，m），D（n，0），点O到CD得距离为h
∵线段AB平移，点A（，b+1）落在y轴正半轴上的C点，点B（，b-1）落在x轴正半轴上的D点，
∴
∴
在Rt△ODC中，OC²+OD²=DC²
∴
由三角形面积公式得：
∴
∴点O到CD得距离为；

（3）延长DA交y轴于点E，过C作CT⊥DE，垂足为T，（其实T与A重合）
∵线段AB平移得到CD，
∴AB∥CD
∴∠TDC=∠BAD=30°，又∠CTD=90°
∴CT=，而OC=2
∴CT=OC，又CT⊥DE，CO⊥DO
∴∠ODC=∠TDC=30°
∴∠EDO=60°
∴∠CED=30°=∠EDC
∴EC=CD=4
∴OE=6
∴E（0，6）
由E，D的坐标得直线DE的解析式为：，
点A（，b+1）在直线DE上，且，
故A（，b+1），代入得：
∴b=2
∴A（，3）
∴．
分析：（1）把A、B的坐标代入函数的解析式，即可得到两个关于a，b，k的方程，然后消去k即可得到a、b的关系式；
（2）设C（0，m），D（n，0），线段AB平移，点A（，b+1）落在y轴正半轴上的C点，点B（，b-1）落在x轴正半轴上的D点，则两点平移的距离、方向相同，然后根据（1）中求得的结果即可求得m，n的值，即OC、OB的长，然后利用三角形的面积公式求O到BC的距离即可；
（3）根据（2）的计算可以求得∠CDO=30°，则DC是∠ODA的平分线，延长DA交y轴于点E，求得DE的函数解析式，把A的坐标代入解析式即可求得b的值，进而求得反比例函数的解析式．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确求得DE的解析式是关键．