Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；

（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）BP=4；（2）PA+PC=PB；（3）PA+PC=PB．

【解析】

试题分析：（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．

（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．

（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．

试题解析：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，

∴∠APB=60°，

又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，

∴∠ABP=30°，

∴∠PAB=90°，

∴BP=2AP，

∵AP=2，

∴BP=4；

（2）结论：PA+PC=PB．

证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，

∵∠APB=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴∠DAP=60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACP，

∴PC=BD，

∴PA+PC=PB；

（3）结论：PA+PC=PB．

证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，

∴AP=AD，

∵∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

∴∠APB=30°，

∴∠DAP=120°，

∴∠1=∠2，

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACP，

∴BD=PC，

∵AF⊥PD，

∴PF=AP，

∴PD=AP，

∴PA+PC=PB．