Question

如图，双曲线y=与直线y=x相交于A、B两点，且点A的横坐标是8．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥x轴交于点C，P是直线AC上的动点，过P作PD∥x轴交双曲线y=于点D，若四边形PDOA的面积为20，求点P的坐标；
（3）若M、N是双曲线y=上的点，且它们的横坐标分别是a，2a（a＞0），求△MON的面积．

Answer 1

解：（1）将x=8代入直线解析式得：y=×8=2，
∴A（8，2），
则将A坐标代入反比例解析式得：2=，即k=16；
（2）设点P坐标为（8，y），

当y＞2时，P在A的右侧，如图所示，
此时S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC-S_△AOC=8y-2×k=8y-16=20，
解得：y=；
当0≤y≤2时，不合题意，舍去；
当y＜0时，S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC+S_△AOC=8（-y）+2×k=-8y+16=20，
解得：y=-，
综上，P坐标为（8，）或（8，-）；
（3）由题意得：M（a，），N（2a，），
过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接OM，ON，MN，如图所示，

则S_△MON=S_△OME+S_梯形MEFN-S_△ONF=×16+×a（+）-×16=12．
分析：（1）将A的横坐标代入直线解析式中求出y的值，确定出A的纵坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值即可；
（2）设P（8，y），根据题意画出相应的图形，如图所示，分情况讨论：当y大于2时，P在A的右侧，四边形PDOA的面积=矩形PDOC的面积-三角形AOC的面积，由已知PDOA的面积列出方程，求出方程的解得到y的值，确定出P的坐标；当y大于等于0，小于等于2时，不合题意，舍去；当y小于0时，四边形PDOA的面积=矩形PDOC的面积+三角形AOC的面积，由已知PDOA的面积列出方程，求出方程的解得到y的值，确定出P的坐标即可；
（3）过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接OM，ON，MN，如图所示，由M与N的横坐标，根据反比例解析式确定出相应的纵坐标，进而表示出M与N的坐标，三角形MON的面积=直角三角形OME的面积+梯形MEFN的面积-直角三角形ONF的面积，求出即可．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，两函数图象交点坐标的求法，利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．