Question

1．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，则△ABC底角的度数为（　　）

• A． 45°
• B． 75°
• C． 45°或15°或75°
• D． 60°

Answer 1

分析 作出图形，分①点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，从而得到AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；
②点A是底角顶点时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．

解答 解：①如图1，点A是顶点时，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，

∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=$\frac{1}{2}$×30°=15°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，

∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．
故选C．

点评 本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．