Question

11．如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BD，垂足为P，OE⊥AB，垂足为E，点F为CD中点，连接OF，PE，PF，试判断四边形OFPE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 四边形OFPE的形状是平行四边形，连接AO并延长交⊙O于G，连接BG，BC，利用已知条件和圆周角定理可证明BG=DC，进而可证明OE=PF，同理可得PE=OF，继而可得四边形OFPE的形状．

解答 解：四边形OFPE的形状是平行四边形，理由如下：
∵AG为直径，∴∠ABG=90°，
∴∠ABD+∠DBG=90°且∠BAC+∠ABD=90，
∴∠BAC=∠DBG，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DG}$，
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{BG}$，
∴BG=CD，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，且AO=OG，
∴OE=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$CD，
∵RT△PCD，PF为中线，
∴PF=$\frac{1}{2}$CD，
∴OE=PF，
同理可得PE=OF，
∴OFPE为平行四边形．

点评 本题考查了三角形中位线定理，垂径定理以及圆周角定理的运用，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用和圆有关的性质定理．