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已知:如图,BD为∠ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD的延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足,下列结论:①∠ABE=∠ACE;②∠BCE+∠BCD=180°;③AE=EC;④BE+BD=2BF,其中正确的是


  1. A.
    ①②③
  2. B.
    ①③④
  3. C.
    ①②④
  4. D.
    ①②③④
D
分析:由BD为角平分线得到一对角相等,再由BD=BC,BE=BA,可得出三角形ABE与三角形BCD为相似的等腰三角形,即两三角形底角相等,再由对顶角相等,得到三角形ADE与BDC相似,由相似得比例且得到一对角相等,再由对应角相等,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ADB与三角形CED相似,由相似三角形的对应角相等得到∠ABE=∠ACE,故选项①正确;由题意得出A、B、C、E四点共圆,利用圆内接四边形的对角互补即可得到∠BCE+∠BAE=180°,等量代换可得出∠BCE+∠BCD=180°,故选项②正确;等量代换可得出∠ACE=∠CAE,利用等角对等边可得出AE=EC,故选项③正确;过E作EM垂直于BC,由BE为角平分线,EF垂直于AB,利用角平分线定理得到AF=CM,等量代换即可得到BD+BE=2BF,故选项④正确,即可得到正确的选项为D.
解答:∵BD为∠ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
又BD=BC,BA=BE,
∴∠BCD=,∠BEA=,即∠BCD=∠BEA,
又∠BDC=∠ADE,
∴△ADE∽△BCD,
=,∠DAE=∠CBE,
∴∠ABE=∠DAE,
又∠ADB=∠EDC,
∴△ADB∽△EDC,
∴∠ACE=∠ABE,故选项①正确;
∴A、B、C、E四点共圆,
∴∠BCE+∠BAE=180°,又∠BCD=∠BAE,
∴∠BCE+∠BCD=180°,故选项②正确;
∴∠DAE=∠ACE,
∴AE=EC,故选项③正确;
过E作BC延长线的垂线,垂足为M,如图所示:

∵∠BCE+∠BAE=180°,∠BCE+∠ECM=180°,
∴∠BAE=∠ECM,
又BE为∠ABC平分线,EF⊥AB,EM⊥BM,
∴EF=EM,
在△AEF和△CEM中,

∴△AEF≌△CEM(AAS),
∴AF=CM,又AB=EB,BC=BD,
则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF,
故选项④正确,
则其中正确的是①②③④.
故选D
点评:此题考查了角平分线定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及等腰三角形的性质,利用了转化及等量代换的数学思想,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
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(1)△BOF≌△DOE.
(2)DE=DF.

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