Question

16．一种商品的销售单价为7元时，每天的销售利润为16元，销售单价为5元时，每天不亏不盈，已知这种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足y=ax²+bx-75．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元，这种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）若这种商品每天的销售利润不低于16元，则销售单价应定在什么范围？

Answer 1

分析 （1）将（7，16）、（5，0）代入y=ax²+bx-75，解方程组即可得；
（2）配方成顶点式即可得最值情况；
（3）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．

解答 解：（1）将点（7，16）、（5，0）代入y=ax²+bx-75，
得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b-75=16}\\{25a+5b-75=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=20}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-x²+20x-75

（2）y=-x²+20x-75=-（x-10）²+25，
当x=10是，y取得最大值25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（2）∵函数y=-x²+20x-75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=-x²+20x-75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

点评 本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．